Использование формул дифференцирования

Использование формул дифференцирования

Для определения абсолютных и относительных погрешностей разыскиваемой величины при косвенных измерениях можно пользоваться формулами дифференцирования, так как абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, другими словами полному дифференциалу функции.

Разглядим это более тщательно. До­пустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:

A = f Использование формул дифференцирования (x, y, z ...).

Правило I. Сначала находят абсолютную погрешность величины А, а потом относительную погрешность. Для этого нужно:

1) Отыскать полный дифференциал функции

.

2) Поменять нескончаемо малые dx, dу, dz, ... надлежащими абсолютными ошибками аргументов Dx, Dy, Dz, … (при всем этом знаки "минус" в абсо­лютных ошибках аргументов подменяют знаками "плюс", так чтоб величина ошибки Использование формул дифференцирования была наибольшей):

.

Применяя это правило к личным случаям, получим:

- абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если X = a - b, то DX = Da + Db;

- абсолютная погрешность произведения Использование формул дифференцирования 2-ух сомножителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (aCP) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (bCP) на абсолютную погрешность первого. Если X = а × b, то DX = aCP × Db + bCP × Dа. Если X = a n , то DX = n × аCPn-1 × Dа;

- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения Использование формул дифференцирования знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на квадрат знаменателя. Если X = , то DX= .

3) По определению найдем относительную погрешность

.

Внедрение дифференциала натурального логарифма

В почти всех случаях, когда формула комфортна для логарифмирования, оказывается более комфортной другая последовательность действий: поначалу находят относительную погрешность величины А, а потом абсолютную погрешность Использование формул дифференцирования, так как относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Вправду, относительная погрешность величины А есть ЕА = DA/Аср , но d(lnA) = DA/А и, как следует, D(lnA) = DA/А.

Правило II.

1) Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, ...).

2) Дифференцируют приобретенный логарифм по всем аргументам.

3) Подменяют нескончаемо малые Использование формул дифференцирования dx, dy, dz, ... абсолютными ошибками соответственных аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов подменяют знаками "плюс").

После вычислений получают относительную погрешность ЕА.

4) Абсо­лютную погрешность находят из формулы

DA = ACP ×EA..

Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, неловкий для логарифмирования Использование формул дифференцирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.

2. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, удачный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.

Разглядим последующие примеры:

1. В итоге исследования равноускоренного движения некото­рого тела получено выражение S = v0Чt + aЧt2/2, в каком

v0 = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с Использование формул дифференцирования2; t = (30 ± 2) с;

S = 12 × 30 + = 1485 м.

Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при оп­ределении пути комфортно воспользоваться правилом I, потому что функция не­удобна для логарифмирования. Тогда

.

Потому что

DV0 = 1 м/с; Dt = 2 с; Da = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с; aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для DS Использование формул дифференцирования, получим

DS = 1 м/с × 30 с + 2 с × 12 м/с + 1/2 × 0.4 м/с2 × 900 с2 + 2.5 м/с2 × 30 c × 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м » 400 м.

Приобретенный итог указывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является непонятной. Означает, S = 1500 м. Тогда

ES = ×100% = 0.266 ×100% = 27%.

Окончательный итог будет иметь вид:

S = (1500 400) м; ЕS = 27%.

2. При определении центростремительной силы, действующей на тело Использование формул дифференцирования, вращаю­щееся по окружности, пользуются формулой

F = .

В итоге измерений получено: m = (15.5 ± 0.2) кг;

v = (3.45 ± 0.01) м/с; R= (150 ± 5) м;

F = = 1.2299 H.

Для определения абсолютной и относительной ошибок при оценке центростремительной силы в этом случае комфортно воспользоваться правилом II, т.к. функция F = f (m,v,R) комфортна для логарифмирования. Тогда

ln Использование формул дифференцирования F = ln m + 2 ln v - ln R.

Продифференцировав это равенство, получим

;

Потому что

Dm = 0.2 кг; Dv = 0.01 м/с; DR = 5 м; mСР = 15.5 кг; vСР = 3.45 м/с; RСР = 150 м, то

; EF = 5.2%;

DF = F × EF = 1.2299 Н ×0.052 = 0.06396 Н = 0.06 Н.

При определении центростремительной силы 3-я цифра слева является непонятной и F =1.23 Н. Окончательный итог запишется в виде

F Использование формул дифференцирования = (1.23 ± 0.06) Н; EF = 5.2%.

Используя 1-ый либо 2-ой методы в расчете абсолютной и относительной ошибок измерений для нередко встречающихся зависимостей, можно пользоваться надлежащими формулами, которые сведены в таблицу 1.

Таблица 1


ispolzovanie-pozhertvovaniya.html
ispolzovanie-pri-formirovanii-imidzha-politicheskogo-lidera-po-bolshej-chasti-vizualnoj-i-rr-tehnologii.html
ispolzovanie-priemov-operacionnogo-analiza-v-optimizacii-velichini-sebestoimosti-produkcii-diplomnaya-rabota.html